离散希尔伯特变换

发布时间:2017-3-28 23:56:49 编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
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一般情况下,我们需要有关幅度和相位(或实部和虚部)在(-PI, PI]上的全部信息才能完整描述一个序列的傅里叶变换特性;但在特定情况下,有可能不需要这些全部的信息。

1. 因果实序列

因果实序列可以从它的偶对称分量( (x[n] + x[-n]) / 2 )恢复出来;而偶对称序列的傅里叶变换只有实数分量。因此,因果实序列只需要其傅里叶变换的实数部分(对应该序列的偶对称分量)就可以完全描述。当已知因果实序列的傅里叶变换XR,可以通过XR和cot(ω/2)的卷积积分(可能需要乘上一个负的系数)求得XI。这样,由于一个物理可实现系统的冲击响应是因果函数,因此其传递函数是一个解析函数(传递函数的实部和虚部满足希尔伯特变换关系)。

2. 有限长实序列

有限长序列具有离散傅里叶变换,可以使用FFT从XR计算XI

3. 幅度与相位的关系

 在最小相位条件下,幅度和相位之间具有确定的关系,且复倒谱是因果的。

(复倒谱:(log|X|+jarg[X])的傅里叶反变换,可以将时域卷积关系变换为时域相加关系:)  

X1(ω)=DFT[x1(n)]

X2(ω)=DFT[x2(n)]

X(ω)=DFT[x(n)]=DFT[x1(n)*x2(n)]=X1(ω)X2(ω)

x^(n)=IDFT{log[X(ω)]} 
   =IDFT{log[X1(ω)]}+IDFT{log[X2(ω)]}

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