Polya定理应用实例

发布时间:2017-7-9 7:07:12编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
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关于Polya原理的应用经典实例:

问题:用两种颜色去染排成一个圈的6个棋子,如果通过旋转得到只算作一种。问有多少种染色状态。

解:先将棋子表上号:

            1

6   2

5   3

  4

那么把所有通过旋转mm大于等于0小于等于5)步的写出来:

    1                  6               5

     6    2             5   1          4   6

     5    3             4   2          3   1

        4                  3               2

  (m=0)              (m=1)       (m=2)

        4                  3               2

     3    5             2   4          1    3

     2    6             1   5          6    4

        1                  6                5

  (m=3)              (m=4)       (m=5)

然后写出每种的置换群:

   1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6

   1 2 3 4 5 6       6 1 2 3 4 5       5 6 1 2 3 4

       m= 0                 m=1                m=2

   1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6       1 2 3 4 5 6

   4 5 6 1 2 3       3 4 5 6 1 2       2 3 4 5 6 1

        m=3               m=4                 m=5

(第一行是原来每位的数字,后一行为现在每位数字)

化简:

(1)(2)(3)(4)(5)(6)      (1,6,5,4,3,2)    1,5,3(2,6,4)

(1,4)(2,5)(3,6)          (1,3,5)(2,4,6)     (1,2,3,4,5,6)

  (每个数对应下一个数,接着再找下一个数的对应数,遇到循环加括号)

最后,根据Polya原理:

Answer=(2^6+2^1+2^2+2^3+2^2+2^1)/6=14

(2表示两种颜色,幂表示每种的括号数,除以6表示有6种)


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