超实数*R真的存在吗?

发布时间:2017-6-29 10:24:22编辑:www.fx114.net 分享查询网我要评论
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超实数*R真的存在吗?

    十八大之后,我决定立即回到老本行“超实数微积分”的网络科普。20121219日,发表博文“超实数*R真的存在吗?”,现将全文重新发表如下:(此刻,全国数学高考正在进行中……

对于无穷小微积分而言,超实数*R的重要性是无须质疑的。比如:无穷小εδ,无穷大H与K,它们在无穷小微积分里面的作用是不可或缺的。但是,这些理想数是否真的存在?有人是持有怀疑态度的。

针对这种情况,J. Keisler在2000年特意为初等微积分(Elementary Calculus)电子版写了一本可自由下载的电子参考资料,叫做无穷小微积分基础(Foundations of Infimitesimal Calculus),深入地回答了有关问题。这是一本值得研读的电子书。

该书的要点是:给出超实数系*R的公理系统,然后在第23至31页利用所谓超幂(Ultrapower)直接构造出超实数*R系统,与构造实数系R一样,叫人无话可说。在此,我只想对好奇的读者指出这一事实,而不想陷入这8页的数学论证,显示无穷小的高贵身份。不过,我想提醒读者注意:这里面的布尔巴基风格。

归结为一句话:超实数*R存在的真实性与实数R的存在性是一样的,白纸黑字,写的一清二楚,无可非议。问题在于:这种含有无穷小与无穷大的线段似乎为欧几里德几何学所不容。直线上有许多空隙,但是,又能够相交于一点,显得怪怪的,不可思议。但是,这些奇怪现象都阻止不了莱布尼兹追随者的前进步伐。数学家的天性是服从逻辑真理

此刻,国内的《高等数学》教材已经拿在我手中,我的心情很矛盾。是说,还是不说?我怕有人说我不自量力,对国家级规划教材持有不恭态度。左思右想,......仍然有点儿举棋不定。只好明日再说。

此刻,我想的问题是:我的读者是些什么人?我想,大部分应该是学生。但是,也有个别数学高手。在互联网上普及数学,不同于课堂讲课,讲课的对象是完全确定的。讲深了不行,讲浅了也不行,有点犯难。我真心希望看到大家的意见反馈,不管对与不对,我都愿意认真考虑。

在该教学参考书的前言中,J.Keisler有句话如下:

......Since thengenerations of students have been taught that infinitesimals do not exist andshould be avoided,意思是,自那时以后,几代大学生被告知(教导):无穷小是不存在的,应该尽力避开。实际上,我国《高等数学》的老师们目前所做的宏伟事业正是这样的。对此,我个人很是无奈。

在数学中引入无穷小的征途上,我们都是莱布尼兹的后来人。

袁萌  6月7日


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